🔍

Colles de mathématiques

Intégrale impropre: convergence, calcul avec changement de variable

Justifier la convergence et calculer la valeur de l'intégrale: I = ∫ ₀ ¹ ln(t)/1 − tdt
On pourra utiliser le changement de variable u = 1 − t.

La fonction $t\mapsto\dfrac{\ln t}{\sqrt{1-t}}$ est continue sur

. Il faut étudier la convergence en 0 et 1.

En 0, on a

$f(t)=\dfrac{\ln t}{\sqrt{1-t}}\sim\ln(t)$

qui est intégrable en 0.

En 1, on a (éventuellement en posant

)

$f(t)=\dfrac{\ln t}{\sqrt{1-t}}\sim\dfrac{t-1}{\sqrt{1-t}} =-\sqrt{1-t}$

est donc prolongeable par continuité en 0 par

, et en particulier

est intégrable en 0.

Avec le changement de variable $u=\sqrt{1-t}\iff t=1-u^2$ , et $dt=-2u\,du$ , on obtient:

$I=\int_0^1 \frac{\ln t}{\sqrt{1-t}}dt=2\int_0^1 \ln(1-u^2)du=\int_0^1 \ln(1-u)(1+u))du=2\int_0^1 \ln(1-u)du+2\int_0^1 \ln(1+u)du$

puis avec les changements de variable

dans la première intégrale et

dans la deuxième (ou en utiisant directement une primitive $x\mapsto x\ln(x)-x$ du logarithme), on obtient

$I=2\int_0^1 \ln(x)dx+2\int_1^2\ln(x)dx&=&2\dsp\int_0^2 \ln(x)dx=2\Bigl[x\ln x-x\Bigr]_0^2=4\ln 2-4$