Colles de mathématiques
Intégrale trigonométrique
Sujet
Calculer
∫
0
π4
cos4(θ) dθ
Corrigé de l'exercice de maths: Intégrales sur un segment - Nombres complexes
Correction
On linéarise 
:
![\[\cos^4\theta=\lp\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\rp^4
=\dfrac{1}{2^3}\left(
\dfrac{e^{4i\theta}+e^{-4i\theta}}{2}
+4\dfrac{e^{2i\theta}+e^{-2i\theta}}{2}
+\dfrac{6}{2}\right)
=\dfrac18\lp\cos(4\theta)+4\cos(2\theta)+3\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex11_c/2.png)
On calcule alors l'intégrale via une primitive:
![\[\int_0^{\frac\pi4} \cos^4\theta\,d\theta
\dfrac18\Bigl[ \dfrac14\sin(4\theta)+2\sin(2\theta)+3\theta\Bigr]_0^{\frac\pi4}
=\dfrac18\left( -\dfrac14+\dfrac{3\pi}{4}\right)
=\dfrac{1}{32}\lp3\pi-1\right)
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex11_c/3.png)
:
On calcule alors l'intégrale via une primitive: