🔍

Colles de mathématiques

Limite d'un quotient de differences


Sujet


Soit f une fonction dérivable en x0∈R .
Montrer que x f (x0) − x0 f (x)x − x0 admet une limite lorsque xx0 .

Corrigé de l'exercice de math

Correction


Comme f est dérivable en x0∈R, on sait que f (x) − f (x0)x − x0 tend vers f '(x0) lorsque xx0 .
On cherche donc à faire apparaître ce quotient,
\[\dfrac{xf(x_0)-x_0f(x)}{x-x_0} =\dfrac{x\Bigl( f(x_0)-f(x)\Bigr) +xf(x)-x_0f(x)}{x-x_0} =-x\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+f(x)\]

et ainsi,
\[\lim_{x\to x_0}\dfrac{xf(x_0)-x_0f(x)}{x-x_0} =-x_0f'(x_0)+f(x_0)\]