Colles de mathématiques
Limite d'un quotient de differences
Sujet
Soit f une fonction dérivable en x0∈R .
Montrer que x f (x0) − x0 f (x)x − x0 admet une limite lorsque xx0 .
Montrer que x f (x0) − x0 f (x)x − x0 admet une limite lorsque xx0 .
Corrigé de l'exercice de math
Correction
Comme f est dérivable en x0∈R,
on sait que
f (x) − f (x0)x − x0
tend vers f '(x0) lorsque xx0 .
On cherche donc à faire apparaître ce quotient,
![\[\dfrac{xf(x_0)-x_0f(x)}{x-x_0}
=\dfrac{x\Bigl( f(x_0)-f(x)\Bigr) +xf(x)-x_0f(x)}{x-x_0}
=-x\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+f(x)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex5_c/4.png)
et ainsi,
![\[\lim_{x\to x_0}\dfrac{xf(x_0)-x_0f(x)}{x-x_0}
=-x_0f'(x_0)+f(x_0)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex5_c/5.png)
On cherche donc à faire apparaître ce quotient,
![\[\dfrac{xf(x_0)-x_0f(x)}{x-x_0}
=\dfrac{x\Bigl( f(x_0)-f(x)\Bigr) +xf(x)-x_0f(x)}{x-x_0}
=-x\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+f(x)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex5_c/4.png)
et ainsi,
![\[\lim_{x\to x_0}\dfrac{xf(x_0)-x_0f(x)}{x-x_0}
=-x_0f'(x_0)+f(x_0)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex5_c/5.png)