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Colles de mathématiques

Loi géométrique est sans mémoire

Sujet

Une variable aléatoire discrète à valeurs dans N est dite sans mémoire si, pour tous entiers n et m, P(Y >n) >0 et

P_{(Y >n)}(Y >n + m) = P(Y >m)

Montrer que si Y suit une loi géométrique alors Y est sans mémoire.
Interpréter ce résultat en considérant une suite d'épreuves répétées.

Corrigé de l'exercice de maths: Variables aléatoires discrètes

Correction

On a P(Y = n) = p(1−p)ⁿ⁻¹ et donc (c'est aussi du cours, mais il faut savoir le (re)démontrer)

$\begin{array}{ll} P(Y>n)&=\dsp\sum_{k>n}p(1-p)^{k-1}\\ &=p(1-p)^n\dsp\sum_{k=0}^{+\infty}(1-p)^k\\ &=p(1-p)^n\dfrac1{1-(1-p)}\\[1em] &=(1-p)^n\enar$

et alors,

$\begin{array}{ll}P_{(Y>n)}(Y>n+m) &=\dfrac{P\Bigl( \left( Y>n+m\rp\cap\left( Y>n\rp\Bigr)}{P\left( Y>n\rp}\\[1.2em] &=\dfrac{P\left( Y>n+m\right)}{P\left( Y>n\right)}\\[1.2em] &=\dfrac{(1-p)^{n+m}}{(1-p)^n}\\[1em] &=(1-p)^m\\[.8em] &=P(Y>m)\enar$

P(Y = k) est la probabilité d'obtenir le premier succès au k-ième essai lors de la répétition d'épreuves de Bernoulli.
Cette propriété "sans mémoire" s'interprète alors par: après n essais infructueux, la probabilité d'attendre m essais suplémentaires pour obtenir le 1er succès (et donc d'obtenir le 1er succès au bout de n + m essais), est la même que d'obtenir tout simplement le 1er succès après m essais.
En d'autres termes, de savoir qu'après n essais on n'a pas eu de succès n'apporte aucune information: on oublie tout simplement ces résultats et tout se passe comme si on repartait de 0.