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Colles de mathématiques

Matrice diagonalisable ?


Sujet


La matrice A = π12 0π3 00π est-elle diagonalisable ?

Corrigé de l'exercice de maths: Diagonalisation

Correction


Les valeurs propres de A sont directement ses éléments diagonaux car elle est triangulaire supérieure. Ainsi, A a une seule valeur propre: π.
Maintenant, si A était diagonalisable, alors elle serait semblable à πI3, c'est-à-dire qu'il existerait une matrice inversible P (une matrice de passage) telle que
A = PI3)P−1
et donc, puisque l'identité I3 commute avec toutes les matrices, on aurait
A = πI3PP−1 = πI3
Ce n'est pas le cas, et on en déduit donc que A n'est donc pas diagonalisable.