Colles de mathématiques
Matrice diagonalisable ?
Sujet
La matrice
A =
π12
0π3
00π
est-elle diagonalisable ?
Corrigé de l'exercice de maths: Diagonalisation
Correction
Les valeurs propres de A sont directement ses éléments diagonaux
car elle est triangulaire supérieure.
Ainsi, A a une seule valeur propre: π.
Maintenant, si A était diagonalisable, alors elle serait semblable à πI3, c'est-à-dire qu'il existerait une matrice inversible P (une matrice de passage) telle que
Maintenant, si A était diagonalisable, alors elle serait semblable à πI3, c'est-à-dire qu'il existerait une matrice inversible P (une matrice de passage) telle que
A = P(πI3)P−1
et donc, puisque l'identité I3 commute avec toutes les matrices, on aurait
A = πI3PP−1
= πI3
Ce n'est pas le cas, et on en déduit donc que A n'est donc pas diagonalisable.