Colles de mathématiques
Matrice redondante diagonalisable ?
Sujet
On considère la matrice
A =
111
111
111
- A est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une base de vecteurs propres de A.
- A est-elle inversible ?
- A est-elle une projection ?
Corrigé de l'exercice de maths: Diagonalisation
Correction
- A est une matrice symétrique réelle: A est donc diagonalisable (théorème spectral).
On peut aussi (et doit savoir) détailler les calculs du spectre et de la dimension des espaces propres, (ce qu'il faut de toute façon faire pour donner une base de vecteurs propres). Le polynôme caractéristique deest
En additionnat toutes les colonnes,, on obtient
puis en soustrayant la ligne 1 à la deuxième et à la troisième,et
,
Ainsi, le spectre deest
.
L'espace propre associé à la valeur propre 3 est nécessairement de dimension 1. Soitalors
En effectuant, on obtient
soit
, et de même
donne
soit
.
Finalement, l'espace propre associé à la valeur propre 3 estavec
.
Il reste à préciser le noyau, espace propre associé à la valeur propre nulle.
Soitalors
Ainsi,qui est une équation de plan, donc de dimension 2, tout comme la multiplicité de la valeur propre nulle. L'espace propre associé à la valeur propre nulle est
avec
et
.
A est ainsi diagonalisable dans la base de vecteurs propres.
- Les calculs précédents montrent que le noyau de A n'est pas réduit au vecteur nul: A n'est pas inversible.
- Comme 3 est valeur propre, A ne peut pas être un projecteur (pour lequel les seules valeurs propres possibles sont 0 et 1).
On peut aussi calculer A2 et trouver que A2 = 3A, donc A n'est pas un projecteur.