Colles de mathématiques
Matrices orthogonales, antisymétriques et valeurs propres
Oral HEC - filière B/L, 2022
Exercice de maths: Diagonalisation - Annales HEC - B/L
Sujet
oral HEC, BL - 2022 - Sujet avec préparation
Soit
un entier.
Si
est une matrice, on note
sa transposée.
On dit qu'une matrice
est orthogonale si
.
On dit qu'une matrice
est symétrique si
.
On dit qu'une matrice
est antisymétrique si
.
On confond dans la suite
avec
que l'on munit de son produit scalaire canonique noté
et de la norme associée notée
.
Soit



On dit qu'une matrice


On dit qu'une matrice


On dit qu'une matrice


On confond dans la suite




- Question de cours : rappeler la définition d'une matrice inversible.
-
- Montrer que toute matrice orthogonale est inversible.
- Soit
. Préciser pour quelle(s) valeur(s) de
, la matrice
est orthogonale.
- Soit
une matrice antisymétrique de
. Soit
et
.
- Soit
. Calculer
et en déduire la valeur de
.
- Montrer que la seule valeur propre possible pour
est 0. Dans quel cas la matrice
est-elle diagonalisable ?
- Montrer que les matrices
et
sont inversibles.
- Montrer que les matrices
et
commutent.
- Montrer que la matrice
est orthogonale.
-
est-il valeur propre de
?
- Soit
- Soit
une matrice orthogonale de
n'admettant pas
comme valeur propre. Montrer qu'il existe une unique matrice antisymétrique
telle que