Colles de mathématiques
Matrices orthogonales, antisymétriques et valeurs propres
Oral HEC - filière B/L, 2022
Sujet
oral HEC, BL - 2022 - Sujet avec préparation
Soit un entier. Si est une matrice, on note sa transposée.
On dit qu'une matrice est orthogonale si .
On dit qu'une matrice est symétrique si .
On dit qu'une matrice est antisymétrique si .
On confond dans la suite avec que l'on munit de son produit scalaire canonique noté et de la norme associée notée .
Soit un entier. Si est une matrice, on note sa transposée.
On dit qu'une matrice est orthogonale si .
On dit qu'une matrice est symétrique si .
On dit qu'une matrice est antisymétrique si .
On confond dans la suite avec que l'on munit de son produit scalaire canonique noté et de la norme associée notée .
- Question de cours : rappeler la définition d'une matrice inversible.
-
- Montrer que toute matrice orthogonale est inversible.
- Soit . Préciser pour quelle(s) valeur(s) de , la matrice est orthogonale.
- Soit une matrice antisymétrique de .
Soit et .
- Soit . Calculer et en déduire la valeur de .
- Montrer que la seule valeur propre possible pour est 0. Dans quel cas la matrice est-elle diagonalisable ?
- Montrer que les matrices et sont inversibles.
- Montrer que les matrices et commutent.
- Montrer que la matrice est orthogonale.
- est-il valeur propre de ?
- Soit une matrice orthogonale de n'admettant pas comme valeur propre. Montrer qu'il existe une unique matrice antisymétrique telle que
Corrigé de l'exercice de maths: Diagonalisation - Annales HEC - B/L
Correction
oral HEC, BL - 2022
- Une matrice carrée d'ordre est inversible si et seulement il existe une matrice telle que .
Dans ce cas, cette matrice est l'inverse de , notée .
On sait de plus, qu'il suffit d'avoir pour en déduire qu'aussi . -
- D'après le rappel précédent, une matrice orthogonale vérifie bien le critère précédent, avec comme matrice inverse .
- On a qui est bien orthogonale, puique et donc
.
On calcule ensuite que et donc que est orthogonale.
On en déduit que est orthogonale pour tout entier , puisque en regroupant successivement les termes centraux on a grâce au calcul précédent
-
- Comme est antisymétrique, on a
et d'autre part, puisque, en regardant les dimensions de ce produit , c'est-à-dire que est un réel (une matrice à une seule ligne et une seule colonne), on a donc que
On déduit de ces deux expressions que . - Soit une éventuelle valeur propre de , et soit alors un vecteur propre associé, en d'autres termes
et on a alors, d'après la question précédente,
Si est valeur propre, c'est qu'il existe un tel vecteur propre non nul, et donc que, nécessairement .
La seule valeur propre possible pour une matrice antisymétrique est donc bien 0.
Une telle matrice n'est donc pas diagonalisable, car si elle l'était, avec 0 pour seule valeur propre, elle serait semblable à la matrice nulle :
La seule matrice antisymétrique diagonalisable est donc la matrice nulle.
- On peut s'intéresser au noyau de :
Or 1 n'est pas valeur propre de (la seule possible est 0), donc nécessairement ce qui montre que est inversible (l'endomorphisme associé est injectif, donc bijectif).
De même pour , car, comme précédemment, n'est pas valeur propre non plus de .
- Comme et commutent (car et commutent),
on a alors
- On a tout d'abord, puisqu'on va s'intéresser aux transposées, et comme est antisymétrique
et
et alors, en revenant à la matrice ,
et comme et commutent,
c'est-à-dire que est une matrice orthogonale.
- Soit tel que puis, comme et commutent, on a alors
ne peut donc pas être valeur propre de .
- Comme est antisymétrique, on a
- Suppsosns qu'une telle matrice existe telle que
et comme on l'a montré précédemment, est inversible car n'est pas valeur propre de , d'où on trouve l'expression nécessaire de cette unique matrice , si elle existe.
Réciproquement, si on définit la matrice par l'expression précédente, on montre que c'est-à-dire que est antisymétrique et telle que, en reprenant le calcul précédant dans l'autre sens,
c'est-à-dire que la matrice ainsi définie est bien l'unique matrice répondant à la question.