Colles de mathématiques
Nombre de racines d'un polynôme
Sujet
Montrer que le polynôme
P(x) = xn + ax + b ,
avec a et b réels,
admet au plus trois racines réelles distinctes.
Corrigé de l'exercice de maths: Théorèmes de Rolle & accroissements finis - Polynômes
Correction
Supposons au contraire que P possède
au moins quatre racines réelles distinctes:
x1,
x2,
x3 et
x4.
Le théorème de Rolle appliqué à P sur les intervalles [x1; x2], [x2; x3] et [x3; x4], montre que P' admet alors au moins trois racines x1', x2' et x3', respectivement dans les intervalles ]x1; x2[, ]x2; x3[ et ]x3; x4[.
Ces intervalles sont disjoints et ces trois racines sont donc distinctes.
On réitère alors le théorème de Rolle sur les deux intervalles ]x1'; x2'[ et ]x2'; x3'[ pour obtenir deux racines x1'' et x2'' distinctes du polynôme dérivé seconde P''.
Or, P''(x) = n(n−1)xn−2 n'admet pas deux racines distinctes.
Le polynôme P doit donc avoir au plus trois racines réelles distinctes.
Le théorème de Rolle appliqué à P sur les intervalles [x1; x2], [x2; x3] et [x3; x4], montre que P' admet alors au moins trois racines x1', x2' et x3', respectivement dans les intervalles ]x1; x2[, ]x2; x3[ et ]x3; x4[.
Ces intervalles sont disjoints et ces trois racines sont donc distinctes.
On réitère alors le théorème de Rolle sur les deux intervalles ]x1'; x2'[ et ]x2'; x3'[ pour obtenir deux racines x1'' et x2'' distinctes du polynôme dérivé seconde P''.
Or, P''(x) = n(n−1)xn−2 n'admet pas deux racines distinctes.
Le polynôme P doit donc avoir au plus trois racines réelles distinctes.