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Colles de mathématiques

Projecteurs, noyaux et égalité d'ensemble


Sujet


Soit p et q deux projecteurs d'un même espace vectoriel et vérifiant Im(p)⊂Ker(q).
  1. Que peut-on dire de q ο p ?
  2. On note r = p + q − p ο q .
    Montrer que Ker(r) = Ker(p)∩Ker(q) .

Corrigé de l'exercice de maths: Projecteurs - Applications linéaires - Espaces vectoriels

Correction


  1. Pour un quelconque x, on a y = p(x)∈Im(p) et donc, comme Im(p)⊂Ker(q), on a y∈Ker(q) car
    q(y) = q(p(x)) = 0

    Ainsi, q ο p est l'application nulle.
  2. Soit x∈Ker(r), alors r(x) = p(x) + q(x) − p ο q(x) = 0
    On a donc,
    • en y appliquant p:
      \[\begin{array}{lcl} &&p\Bigl(p(x)+q(x)-p\circ q(x)\Bigr)=p(0)=0\\[.3em] &\Longrightarrow& p^2(x)+p(q(x))-p^2(q(x))=0\\[.3em] &\Longrightarrow& p(x)+p(q(x))-p(q(x))=0 \\[.3em] &\Longrightarrow& p(x)=0 \\ \enar\]

      et ainsi x∈Ker(p).
    • de même, en y appliquant q:
      \[\begin{array}{lcl} &&q\Bigl(p(x)+q(x)-p\circ q(x)\Bigr)=q(0)=0\\[.3em] &\Longrightarrow& q(p(x))+q^2(x)-q(p(q(x)))=0 \enar\]

      soit, comme q ο p = 0 on trouve q2(x) = q(x) = 0, et donc x∈Ker(q).

    On a donc obtenu que si x∈Ker(r), alors x∈ Ker(p)∩Ker(q) , en d'autres termes: Ker(r)⊂ Ker(p)∩Ker(q) .

    Il reste à montrer l'inclusion dans l'autre sens.
    Soit x∈ Ker(p)∩Ker(q) , alors p(x) = q(x) = 0 et donc r(x) = p(x) + q(x) − p(q(x)) = 0 d'où x∈ Ker(r) , et donc Ker(p)∩Ker(q)⊂Ker(r) .


    On a donc finalement montré que Ker(r) = Ker(p)∩Ker(q) .