Colles de mathématiques
Puissance n-ième d'une matrice 2x2 symétrique
Sujet
Soit
A =
ab
ba
avec a et b deux réels.
Calculer An pour tout entier n.
Corrigé de l'exercice de maths: Diagonalisation
Correction
On cherche à diagonaliser
.
Son polynôme caractéristique est
![\[\chi_A(X)=\det\left( A-XI_3\right)
=\left|\begin{array}{cc}a-X&b\\b&a-X\enar\right|
=(a-X)^2-b^2=(a-X+b)(a-X-b)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/2.png)
Ainsi
est diagonalisable avec comme valeurs propres
et
.
L'espace propre associé à
est engendré
par
avec
Si
, sinon
est déjà diagonale et
,
on trouve donc
et
.
De même, l'espace propre associé à
est engendré par
avec
et on trouve, toujours pour
,
et
.
La matrice de passage de la base canonique à la base de vecteurs propres
est
, et on a la relation
, puis
,
avec
,
donc
,
et
d'où

![\[\chi_A(X)=\det\left( A-XI_3\right)
=\left|\begin{array}{cc}a-X&b\\b&a-X\enar\right|
=(a-X)^2-b^2=(a-X+b)(a-X-b)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/2.png)
Ainsi



L'espace propre associé à








De même, l'espace propre associé à






La matrice de passage de la base canonique à la base de vecteurs propres




avec


et

d'où
![\[A^n=PD^nP^{-1}
=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}(a+b)^n+(a-b)^n&(a+b)^n-(a-b)^n\\
(a+b)^n-(a-b)^n&(a+b)^n+(a-b)^n\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/27.png)