Colles de mathématiques
Rayon de convergence
Sujet
Déterminer le rayon de convergence de la série entière
∑
n≥1
an zn,
pour
a≥0.
Corrigé de l'exercice de maths: Séries entières
Correction
Pour
le terme général est nul et la série converge trivialement pour tout
.
Pour
, on applique la règle de d'Alembert à
:
![\[\frac{u_{n+1}}{u_n}=|z|a^{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC11_c/5.png)
Or,
![\[\begin{array}{ll}\sqrt{n+1}-\sqrt{n}&=\sqrt{n}\big((1+1/n)^{1/2}-1)\\[.7em]
&=\sqrt{n}\left(1+\frac{1}{2n}-1+o\left(\frac1n\right)\right)\to 0\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC11_c/6.png)
Ainsi, on obtient que
![\[\frac{u_{n+1}}{u_n}\to |z|a^0=|z|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC11_c/7.png)
et on en déduit que la série converge absolument pour
et diverge pour
.
Le rayon de convergence de la série entière est donc 1.
![$a=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC11_c/1.png)
![$z$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC11_c/2.png)
Pour
![$a\not=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC11_c/3.png)
![$u_n=a^{\sqrt{n}}|z|^n$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC11_c/4.png)
![\[\frac{u_{n+1}}{u_n}=|z|a^{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC11_c/5.png)
Or,
![\[\begin{array}{ll}\sqrt{n+1}-\sqrt{n}&=\sqrt{n}\big((1+1/n)^{1/2}-1)\\[.7em]
&=\sqrt{n}\left(1+\frac{1}{2n}-1+o\left(\frac1n\right)\right)\to 0\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC11_c/6.png)
Ainsi, on obtient que
![\[\frac{u_{n+1}}{u_n}\to |z|a^0=|z|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC11_c/7.png)
et on en déduit que la série converge absolument pour
![$|z|<1$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC11_c/8.png)
![$|z|>1$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC11_c/9.png)
Le rayon de convergence de la série entière est donc 1.