Colles de mathématiques
Rayon de convergence
Sujet
Étudier la convergence de la série
∑
n
n!nnzn
Corrigé de l'exercice de maths: Séries entières
Correction
Soit
,
alors
![\[\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=
\dfrac{(n+1)!\,z^{n1}}{(n+1)^{n+1}}
\tm\dfrac{n^n}{n!\,z^n}
=z\lp\dfrac{n}{n+1}\rp^n
=ze^{n\ln\lp\dfrac{n}{n+1}\right)}
=ze^{-n\ln\lp1+\dfrac1n\right)}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC14_c/2.png)
Or, pour
,
, et, au 1er ordre,
.
Ainsi,
et la série est convergente pour
.
En d'autres termes, le rayon de convergence de cette série entière est
.

![\[\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=
\dfrac{(n+1)!\,z^{n1}}{(n+1)^{n+1}}
\tm\dfrac{n^n}{n!\,z^n}
=z\lp\dfrac{n}{n+1}\rp^n
=ze^{n\ln\lp\dfrac{n}{n+1}\right)}
=ze^{-n\ln\lp1+\dfrac1n\right)}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC14_c/2.png)
Or, pour



Ainsi,


En d'autres termes, le rayon de convergence de cette série entière est
