Colles de mathématiques
Rayon de convergence
Sujet
Déterminer le rayon de convergence de la série entière
∑
n
(1 + i)nn2nz3n
Corrigé de l'exercice de maths: Séries entières
Correction
Soit
un =
(1 + i)nn2nz3n
On applique la règle de d'Alembert pour étudier la convergence absolue de cette série. On a:
On en déduit que le rayon de convergence de la série entière est 21/6.
On applique la règle de d'Alembert pour étudier la convergence absolue de cette série. On a:
un+1un
=
n|1+i| |z|32(n+1)
2 |z|32
Ainsi, si
|z|3<2, la série de terme général un est absolument convergente
d'après le critère de d'Alembert, alors qu'elle est divergente si |z|3>2.
On en déduit que le rayon de convergence de la série entière est 21/6.