Colles de mathématiques
Recherche de fonctions avec une propriété intégrale
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Sujet
Déterminer les fonctions f: [0; 1][0; 1] continues
et telles que
∫
0
1
f (x) dx
=
∫
0
1
f 2(x) dx .
Corrigé de l'exercice de maths: Intégrales sur un segment
Correction
Par linéarité,
Or, sur , et donc, en particulier, et , d'où on doit avoir nécessairement, pour tout , , soit ou .
Comme est continue, on a alors nécessairement sur ou sur .
Réciproquement, ces deux fonctions et conviennent bien.
Remarque: bien sûr, si n'est pas supposée continue, la fonction définie par si et si convient aussi pour tout .
Or, sur , et donc, en particulier, et , d'où on doit avoir nécessairement, pour tout , , soit ou .
Comme est continue, on a alors nécessairement sur ou sur .
Réciproquement, ces deux fonctions et conviennent bien.
Remarque: bien sûr, si n'est pas supposée continue, la fonction définie par si et si convient aussi pour tout .