Colles de mathématiques
Série entière presque géométrique
Sujet
Donner le rayon de convergence et donner une expression à l'aide de fonctions usuelles de la série
∑
n≥0
xnn + 1.
Corrigé de l'exercice de maths: Séries entières
Correction
Si est le terme général de la série,
on a lorsque .
Le rayon de convergence de cette série entière est donc 1, et on suppose donc dans les tous les calculs à venir que .
Soit donc, pour , .
et, .
On a alors, la série entière étant dérivable, et terme à terme, dans son disque de convergence, .
On trouve alors en intégrant d'où .
Remarque: on peut vérifier (question supplémentaire ?) pour la seule valeur facilement calculable de la série: donc .
Avec le résultat trouvé, comme en 0, , on a bien en prolongeant par continuité en 0 l'expression trouvée .
Le rayon de convergence de cette série entière est donc 1, et on suppose donc dans les tous les calculs à venir que .
Soit donc, pour , .
et, .
On a alors, la série entière étant dérivable, et terme à terme, dans son disque de convergence, .
On trouve alors en intégrant d'où .
Remarque: on peut vérifier (question supplémentaire ?) pour la seule valeur facilement calculable de la série: donc .
Avec le résultat trouvé, comme en 0, , on a bien en prolongeant par continuité en 0 l'expression trouvée .