Colles de mathématiques
Série entière presque géométrique
Sujet
Donner le rayon de convergence et donner une expression à l'aide de fonctions usuelles de la série
∑
n≥0
xnn + 1.
Corrigé de l'exercice de maths: Séries entières
Correction
Si
est le terme général de la série,
on a
lorsque
.
Le rayon de convergence de cette série entière est donc 1, et on suppose donc dans les tous les calculs à venir que
.
Soit donc, pour
,
.
et,
.
On a alors, la série entière étant dérivable, et terme à terme, dans son disque de convergence,
.
On trouve alors en intégrant
d'où
.
Remarque: on peut vérifier (question supplémentaire ?) pour la seule valeur facilement calculable de la série:
donc
.
Avec le résultat trouvé, comme en 0,
, on a bien
en prolongeant par continuité en 0 l'expression trouvée
.
![$u_n=\dfrac{x^n}{n+1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG1_c/1.png)
![$\left|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\right|=|x|\dfrac{n+1}{n+2}\to|x|$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG1_c/2.png)
![$n\to+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG1_c/3.png)
Le rayon de convergence de cette série entière est donc 1, et on suppose donc dans les tous les calculs à venir que
![$|x|<1$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG1_c/4.png)
Soit donc, pour
![$|x|<1$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG1_c/5.png)
![$f(x)\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{x^n}{n+1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG1_c/6.png)
et,
![$g(x)=xf(x)=\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG1_c/7.png)
On a alors, la série entière étant dérivable, et terme à terme, dans son disque de convergence,
![$g'(x)=\dsp\sum_{n\geqslant0}x^n=\dfrac1{1-x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG1_c/8.png)
On trouve alors en intégrant
![$g(x)=-\ln(1-x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG1_c/9.png)
![$f(x)=-\dfrac1x\ln(1-x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG1_c/10.png)
Remarque: on peut vérifier (question supplémentaire ?) pour la seule valeur facilement calculable de la série:
![$f(x)=1+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{3}+\dots$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG1_c/11.png)
![$f(0)=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG1_c/12.png)
Avec le résultat trouvé, comme en 0,
![$\ln(1-x)\sim -x$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG1_c/13.png)
![$f(x)=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG1_c/14.png)