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Colles de mathématiques

Suites récurrentes couplées


Sujet


Déterminer l'expression, en fonction de n, les termes généraux un et vn des suites (un) et (vn) définies par un+1 = 2un − vn vn+1 = −un + 2vn avec u0 = 1 et v0 = 2.

Corrigé de l'exercice de maths: Suites - Diagonalisation

Correction


On pose $A=\lp\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 2\enar\rp$ et $X_n=\lp\begin{array}{c}u_n\\v_n\enar\rp$, alors $X_{n+1}=\lp\begin{array}{c}u_{n+1}\\v_{n+1}\enar\rp$ et le système s'écrit $X_{n+1}=AX_n$.

La suite $\left( X_n\rp$ est alors géométrique et alors, pour tout entier $n$, $X_n=A^nX_0$.
Il reste donc à calculer les puissances de la matrice $A$.

On peut à cette fin diagonaliser $A$ (qui est une matrice symétrique réelle, donc en particulier bien diagonalisable).
Le polynôme caractéristique de $A$ est
\[\begin{array}{ll} \chi_A(X)&=\det(XI-A)=\left|\begin{array}{cc}X-2 & 1\\1 & X-2\enar\right| \\[1.2em] &=(X-2)^2-1^2=(X-1)(X-3)\enar\]

Ainsi, $A$ admet deux valeurs propres 1 et 3.

Sous-espace propre associé à la valeur propre 1: $(I-A)X=0\iff\la\begin{array}{ll}-x+y=0\\x-y=0\enar\right. \iff x=y$. Le sous-espace propre est de dimension 1, engendré par $e_1\lp\begin{array}{c}1\\1\enar\rp$.

Sous-espace propre associé à la valeur propre 3: $(3I-A)X=0\iff\la\begin{array}{ll}x+y=0\\x+y=0\enar\right. \iff x=-y$. Le sous-espace propre est de dimension 1, engendré par $e_2\lp\begin{array}{c}1\\-1\enar\rp$.


On a alors $A=PDP^{-1}$ avec la matrice diagonale $D=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&3\enar\rp$ et la matrice de passage $P=\left( e_1 e_2\rp=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\rp$ et son inverse $P^{-1}=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\rp$.
On obtient alors,
\[\begin{array}{ll} A^n&=\left( PDP^{-1}\rp^n \\[.5em] &= PDP^{-1}\,PDP^{-1}\,\dots PDP^{-1}\\[.5em] &=PD^nP^{-1} \\[.5em] &=\lp\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\right) \lp\begin{array}{cc}1&0\\0&3^n\enar\right) \dfrac12\lp\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\right) \\[1em] &=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1+3^n & 1-3^n\\1-3^n&1+3^n \enar\right) \enar\]


$X_n=A^nX_0$, avec $X_0=\lp\begin{array}{c}u_0\\v_0\enar\rp=\lp\begin{array}{c}1\\2\enar\rp$, et donc,
\[X_n=\lp\begin{array}{c}u_n\\v_n\enar\right) =\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1+3^n & 1-3^n\\1-3^n&1+3^n \enar\right) \lp\begin{array}{c}1\\2\enar\rp\]

soit donc finalement,
\[\la\begin{array}{ll} u_n&=\dfrac12\left( 3-3^n\rp\\[1em] v_n&=\dfrac12\left( 3+3^n\right) \enar\right.\]