Colles de mathématiques
Tangente commune à une parabole et une hyperbole
Sujet
Montrer que les courbes d'équations y = x2 et y = 1x admettent une tangente commune.
Corrigé de l'exercice de math
Correction
La tangente en
de la courbe d'équation
a pour équation
,
et celle en
de la courbe d'équation
a pour équation
.
Pour qu'une tangente soit commune, il faut et suffit donc que
![\[\la\begin{array}{l}
2a=-\dfrac{1}{b^2}\\[.8em]
-a^2=\dfrac2b\enar\right.
\iff
\la\begin{array}{l}
a=-\dfrac{1}{2b^2}\\[.8em]
-\dfrac{1}{4b^4}=\dfrac2b
\iff-b=8b^4
\iff 8b^4+b=b(8b^3+1)=0
\enar\right.
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/extg2_c/7.png)
On trouve ainsi
, ce qui est impossible,
ou
et donc
.
![$a$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/extg2_c/1.png)
![$y=x^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/extg2_c/2.png)
![$T_1:y=2a(x-a)+a^2=2ax-a^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/extg2_c/3.png)
![$b\not=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/extg2_c/4.png)
![$y=\dfrac{1}{x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/extg2_c/5.png)
![$T_2:y=-\dfrac{1}{b^2}(x-b)+\dfrac1b=-\dfrac{1}{b^2}x+\dfrac2b$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/extg2_c/6.png)
Pour qu'une tangente soit commune, il faut et suffit donc que
![\[\la\begin{array}{l}
2a=-\dfrac{1}{b^2}\\[.8em]
-a^2=\dfrac2b\enar\right.
\iff
\la\begin{array}{l}
a=-\dfrac{1}{2b^2}\\[.8em]
-\dfrac{1}{4b^4}=\dfrac2b
\iff-b=8b^4
\iff 8b^4+b=b(8b^3+1)=0
\enar\right.
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/extg2_c/7.png)
On trouve ainsi
![$b=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/extg2_c/8.png)
![$b^3=-\dfrac18\iff b=-\dfrac12$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/extg2_c/9.png)
![$a=-\dfrac{1}{2b^2}=-2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/extg2_c/10.png)