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Formules de Taylor

Formule de Taylor

La formule de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor qui l’a établit au début du 18ème siècle est un outil fondamental en analyse fonctionnelle. Elle donne une approximation d'une fonction au voisinage d'un point par un polynôme de degré n dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées successives de la fonction en ce point. La seule hypothèse donc est que la fonction soit au moins dérivable n au voisinage de ce point (ou, mieux, de classe Cn).

On suppose donc par la suite que f est de classe Cn sur un intervalle ouvert I contenant un réel x0, et h un réel tel que x0+h appartient aussi à I.

Formule de Taylor-Young

f (x0+h) = f (x0) + hf '(x0) + h2/2!f ''(x0) + … + hn/n!f (n)(x0) + hnε(h)
où ε(h) est une fonction qui tend vers 0 lorsque h tend vers 0.

Il s'agit bien d'un polynôme, en la variable h, et de degré n avec les coeffcients
an = 1/n!f (n)(x0)
soit alors, le polynôme de Taylor à l'ordre n:
f (x0+h) = a0 + a1h + a2h2 + … + anhn + hnε(h) = n ∑ k=0 akhk + hnε(h)
Il semblerait que Taylor ne se soit pas trop concentré sur le reste ε(h); d'autres le feront après lui et préciseront ainsi cette formule.

Formule de Taylor-Lagrange

La formule de Taylor-Lagrange est une généralisation de la formule des accroissements finis. On suppose que f est de classe Cn au voisinage de x0 alors il existe θ∈]0;1[ tel que
f (x0+h) = n ∑ k=0 hk/k!f (k)(x0) + hn+1/(n+1)! f (n+1)(x0 + θh)


Formule de Taylor avec reste intégral

La formule de Taylor avec reste intégral est la formule de Taylor-Young pour laquelle on précise l'expression du reste ε(h) sous la forme d'une intégrale:
f (x0+h) = f (x0) + hf '(x0) + h2/2!f ''(x0) + … + hn/n!f (n)(x0) + hn+1/n!ε(h)
avec l'expression intégrale
ε(h) = ∫ 0 1 (1 − t)n f (n+1) (x0+th) dt