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Colles de mathématiques

Application linéaire ? Noyau et image ?


Sujet


L'application f : R2R3 définie par f (x, y) = (x + y, x − y, x + y) est-elle linéaire ?
Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?

Corrigé de l'exercice de maths: Applications linéaires

Correction


Soit $u=(x,y)$ et $v=(x',y')$ et $\lambda\in\R$, alors
\[\begin{array}{ll}f\lp\lambda u+v\rp&=f\lp(\lambda x+x',\lambda y+y')\rp\\ &=\Bigl( (\lambda x+x')+(\lambda y+y'),(\lambda x+x')-(\lambda y+y'),(\lambda x+x')+(\lambda y+y')\Bigr)\\ &=\Bigl( \lambda(x+y)+(x'+y'),\lambda(x-y)+(x'-y'),\lambda(x+y)+(x'+y')\Bigr)\\ &=\lambda\bigl(x+y,x-y,x+y\bigr)+\bigl(x'+y',x'-y',x'+y'\bigr)\\ &=\lambda f(u)+f(v)\enar\]

Ainsi, $f$ est une application linéaire.

Étudions le noyau de $f$:
\[\begin{array}{ll}(x,y)\in\text{Ker}(f)&\iff f(x,y)=(0,0) \\ &\iff\la\begin{array}{rcl}x+y&=&0\\x-y&=&0\\x+y&=&0\\\enar\right.\\ &\iff\la\begin{array}{rcl}x+y&=&0\\2x&=&0\\\enar\right.\]

On en déduit que $\text{Ker}(f)=\bigl\{(0,0)\bigr\}$, et, en d'autres termes, $f$ est injective.

Étudions maintenant son image:
\[\begin{array}{ll} (u,v,w)\in\text{Im}(f) &\iff\exists (x,y)\in\R^2,\ (u,v,w)=f(x,y) \\[.8em] &\iff\exists (x,y)\in\R^2,\ \la\begin{array}{rcl}u&=&x+y\\v&=&x-y\\w&=&x+y\enar\right. \\[1.6em] &\iff\exists (x,y)\in\R^2,\ \la\begin{array}{rcl}u&=&x+y\\u+v&=&2x\\u&=&w\enar\right. \\[2em] &\iff\exists (x,y)\in\R^2,\ \la\begin{array}{rcl}x&=&\dfrac{u+v}2\\y&=&\dfrac{u-v}2\\u&=&w\enar\right. \enar\]

On en déduit que $\text{Im}(f)=\bigl\{(u,v,w)\in\R^3;\ u-w=0\bigr\}=\text{Vect}\left( (1,0,1)\rp.$
En particulier, $e_1=(1,0,0)$ n'est pas dans $\textrm{Im}(f)$, et donc $f$ n'est pas surjective, et n'est pas bijective non plus.