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Colles de mathématiques

Application linéaire ? Noyau et image ?


Sujet


Montrer que f : R[X] R[X] P P − XP' est une application linéaire.
Déterminer son noyau et son image.

Corrigé de l'exercice de maths: Applications linéaires - Polynômes

Correction


Soit $P,Q\in\R[X]$ et $\lambda\in\R$. Alors
\[\begin{array}{lcl} f(\lambda P+Q)&=&(\lambda P+Q)-X(\lambda P+Q)'\\ &=&\lambda P+Q-X(\lambda P'+Q')\\ &=&\lambda (P-XP')+Q-XQ'=\lambda f(P)+ f(Q). \enar\]

Ainsi, f est bien une application linéaire.

On s'intéresse au noyau de $f$, donc $P\in\ker(f)\iff P-XP'=0$.
Soit $P(X)=\dsp\sum_{k=0}^n a_k X^k$. Alors on a:
\[f(P)=P-XP'=\sum_{k=1}^n (a_k-k a_{k})X^k +a_0\]

On en déduit que $a_0=0$ et que, pour tout entier $1\leqslant k\leqslant n$, $a_k(1-k)=0$.
Ainsi, $a_k=0$ pour $k\neq 1$, et $a_1\in\R$ étant quelconque.
On en déduit que $\ker(f)=\text{Vect}(X)$.

D'autre part, soit $Q\in\text{Im}(f)$, avec $\displaystyle Q=\sum_{k=0}^m b_k X^k$. Alors, il existe $\displaystyle P=\sum_{k=0}^n a_k X^k$ tel que $Q=P'-XP$ soit, d'après le calcul précédent,
\[b_k=a_k(1-k).\]

On en déduit $b_1=0$ et donc $Q\in F=\text{vect}\left( X^k;\ k\neq 1\rp$.
Réciproquement, soit $Q=\dsp\sum_{k=0,\ k\neq 1}^mb_kX^k$ un élément de $F$, c'est-à-dire un polynôme sans terme en $X$. Alors, si on pose $a_k=(1-k)^{-1}b_k$, $k\neq 1$, et $a_1=0$, le calcul précédent montre que $P'-XP=Q$ et donc $Q\in\textrm{Im}(f)$.
Ainsi, $\text{Im}(f)=F$.

L'image et le noyau de f sont de plus ici supplémentaires.