Colles de mathématiques
Application linéaire ? Noyau et image ?
Sujet
Montrer que
f :
R[X]
R[X]
P
P − XP'
est une application linéaire.
Déterminer son noyau et son image.
Déterminer son noyau et son image.
Corrigé de l'exercice de maths: Applications linéaires - Polynômes
Correction
Soit
et
.
Alors
![\[\begin{array}{lcl}
f(\lambda P+Q)&=&(\lambda P+Q)-X(\lambda P+Q)'\\
&=&\lambda P+Q-X(\lambda P'+Q')\\
&=&\lambda (P-XP')+Q-XQ'=\lambda f(P)+ f(Q).
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/3.png)
Ainsi, f est bien une application linéaire.
On s'intéresse au noyau de
, donc
.
Soit
.
Alors on a:
![\[f(P)=P-XP'=\sum_{k=1}^n (a_k-k a_{k})X^k +a_0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/8.png)
On en déduit que
et que, pour tout entier
,
.
Ainsi,
pour
, et
étant quelconque.
On en déduit que
.
D'autre part, soit
, avec
.
Alors, il existe
tel que
soit, d'après le calcul précédent,
![\[b_k=a_k(1-k).\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/20.png)
On en déduit
et donc
.
Réciproquement, soit
un élément de
, c'est-à-dire un polynôme sans terme en
. Alors, si on pose
,
, et
,
le calcul précédent montre que
et donc
.
Ainsi,
.
L'image et le noyau de f sont de plus ici supplémentaires.
![$P,Q\in\R[X]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/1.png)
![$\lambda\in\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/2.png)
![\[\begin{array}{lcl}
f(\lambda P+Q)&=&(\lambda P+Q)-X(\lambda P+Q)'\\
&=&\lambda P+Q-X(\lambda P'+Q')\\
&=&\lambda (P-XP')+Q-XQ'=\lambda f(P)+ f(Q).
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/3.png)
Ainsi, f est bien une application linéaire.
On s'intéresse au noyau de
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/5.png)
![$P\in\ker(f)\iff P-XP'=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/6.png)
Soit
![$P(X)=\dsp\sum_{k=0}^n a_k X^k$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/7.png)
![\[f(P)=P-XP'=\sum_{k=1}^n (a_k-k a_{k})X^k +a_0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/8.png)
On en déduit que
![$a_0=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/9.png)
![$1\leqslant k\leqslant n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/10.png)
![$a_k(1-k)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/11.png)
Ainsi,
![$a_k=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/12.png)
![$k\neq 1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/13.png)
![$a_1\in\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/14.png)
On en déduit que
![$\ker(f)=\text{Vect}(X)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/15.png)
D'autre part, soit
![$Q\in\text{Im}(f)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/16.png)
![$\displaystyle Q=\sum_{k=0}^m b_k X^k$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/17.png)
![$\displaystyle P=\sum_{k=0}^n a_k X^k$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/18.png)
![$Q=P'-XP$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/19.png)
![\[b_k=a_k(1-k).\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/20.png)
On en déduit
![$b_1=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/21.png)
![$Q\in F=\text{vect}\left( X^k;\ k\neq 1\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/22.png)
Réciproquement, soit
![$Q=\dsp\sum_{k=0,\ k\neq 1}^mb_kX^k$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/23.png)
![$F$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/24.png)
![$X$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/25.png)
![$a_k=(1-k)^{-1}b_k$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/26.png)
![$k\neq 1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/27.png)
![$a_1=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/28.png)
![$P'-XP=Q$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/29.png)
![$Q\in\textrm{Im}(f)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/30.png)
Ainsi,
![$\text{Im}(f)=F$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL7_c/31.png)
L'image et le noyau de f sont de plus ici supplémentaires.