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Colles de mathématiques

Calcul de limite avec le théorème des accroissements finis


Sujet


Utiliser le théorème des accroissements finis, appliqué à la fonction exponentielle pour démontrer que:
 limx0 ex − 1x = 1

Corrigé de l'exercice de maths: Limite - Théorèmes de Rolle & accroissements finis

Correction


Soit f : x ↦ exp(x) définie et dérivable sur R, avec f '(x) = f (x) = exp(x)
Pour tout x réel, d'après le théorème des accroissements finis sur I = ]0; x[ ou I = ]x; 0[, suivant le signe de x, il existe c∈I tel que
f (x) − f (0) = f '(c)(x − 0)
soit
ex − 1= xec

Ainsi, pour tout x≠0,
ex − 1x = ec
et alors
ex − 1/ x − 1 = |ec − 1 |
or c∈]0; x[ ou c∈]x; 0[ et donc |c|≤|x|, et donc
 limx0 ec − 1 = 0
d'où
 limx0 ex − 1/ x − 1 = 0
et la limite demandée.