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Colles de mathématiques

Calcul matriciel - Inverse d'une matrice 4x4



Exercice de maths: Matrices

Sujet


On considère la matrice carrée $K=\lp\begin{array}{cccc}1&1&-1&-3\\1&1&1&-2\\0&-1&0&1\\1&1&0&-2\enar\rp$.
  1. Calculer $K^2$.
  2. En déduit que $K$ est inversible et calculer $K^{-1}$.
  3. Soit $a$ et $b$ deux réels. On définit la matrice $M=aI+bK$. Montrer que $M^2=-(a^2+b^2)I+2aM$.
  4. En déduire que si $a$ et $b$ ne sont pas tous les deux nuls, $M$ est inversible.
  5. En déduire l'inverse de la matrice $A=\lp\begin{array}{cccc}1+\sqrt2&1&-1&-3\\1&1+\sqrt2&1&-2\\0&-1&\sqrt2&1\\1&1&0&-2+\sqrt2\enar\rp$.

Correction