Colles de mathématiques
Matrice nilpotente et calcul d'inverse
Exercice de maths: Matrices
Sujet
Soit
une matrice nilpotente, c'est-à-dire telle qu'il existe un entier
tel que
est la matrice nulle.
Montrer que
est inversible et que son inverse s'écrit sous la forme
.
En déduire l'inverse de la matrice
.
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/exnilinv/1.png)
![$k$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/exnilinv/2.png)
![$A^k$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/exnilinv/3.png)
Montrer que
![$I-A$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/exnilinv/4.png)
![$I + A + A^2 + \dots + A^{k-1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/exnilinv/5.png)
En déduire l'inverse de la matrice
![$M=\lp\begin{array}{ccc}1&-1&-1\\0&1&-1\\0&0&1\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/exnilinv/6.png)