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Colles de mathématiques

Matrice nilpotente et calcul d'inverse



Exercice de maths: Matrices

Sujet


Soit $A$ une matrice nilpotente, c'est-à-dire telle qu'il existe un entier $k$ tel que $A^k$ est la matrice nulle.
Montrer que $I-A$ est inversible et que son inverse s'écrit sous la forme $I + A + A^2 + \dots + A^{k-1}$.
En déduire l'inverse de la matrice $M=\lp\begin{array}{ccc}1&-1&-1\\0&1&-1\\0&0&1\enar\rp$.

Correction