Colles de mathématiques
Caractérisation d'un endomorphisme diagonalisable
Oral ENS Ulm, filière B/L, 2017
Exercice de maths: Diagonalisation - Annales ENS Ulm - B/L
Sujet
Pour des endomorphismes
et
de
, on note
la composée de
et
et
.
On note
l’endomorphisme identité de
.
Pour un endomorphisme
de
, soit
la propriété:
![\[\forall \lambda\in\R, Ker(u-\lambda Id) = Ker (u-\lambda Id)^2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/crctdiago/13.png)
Première partie. Soit
et
deux endomorphismes de
tels que
.
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/crctdiago/1.png)
![$g$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/crctdiago/2.png)
![$\R^n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/crctdiago/3.png)
![$f\circ g$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/crctdiago/4.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/crctdiago/5.png)
![$g$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/crctdiago/6.png)
![$f^2 = f\circ f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/crctdiago/7.png)
![$Id$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/crctdiago/8.png)
![$R^n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/crctdiago/9.png)
![$u$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/crctdiago/10.png)
![$\R^n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/crctdiago/11.png)
![$\left( P_u\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/crctdiago/12.png)
![\[\forall \lambda\in\R, Ker(u-\lambda Id) = Ker (u-\lambda Id)^2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/crctdiago/13.png)
Première partie. Soit
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/crctdiago/14.png)
![$g$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/crctdiago/15.png)
![$\R^n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/crctdiago/16.png)
![$f\circ g = 0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/crctdiago/17.png)
- Montrer que
.
- Montrer que
.
- Soit
un endomorphisme de
tel que
.
Montrer queet
sont supplémentaires dans
.
- Si
vérifie de plus
, montrer que
est diagonalisable.
Deuxième partie. Soitun endomorphisme de
.
- Soit
un endomorphisme diagonalisable. Montrer que
vérifie
.
- Réciproquement, si
vérifie
, est-ce que u est diagonalisable ?