Colles de mathématiques
Caractérisation d'un endomorphisme diagonalisable
Oral ENS Ulm, filière B/L, 2017
Exercice de maths: Diagonalisation - Annales ENS Ulm - B/L
Sujet
Pour des endomorphismes
et
de
, on note
la composée de
et
et
.
On note
l’endomorphisme identité de
.
Pour un endomorphisme
de
, soit
la propriété:
![\[\forall \lambda\in\R, Ker(u-\lambda Id) = Ker (u-\lambda Id)^2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/crctdiago/13.png)
Première partie. Soit
et
deux endomorphismes de
tels que
.












![\[\forall \lambda\in\R, Ker(u-\lambda Id) = Ker (u-\lambda Id)^2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/crctdiago/13.png)
Première partie. Soit




- Montrer que
.
- Montrer que
.
- Soit
un endomorphisme de
tel que
.
Montrer queet
sont supplémentaires dans
.
- Si
vérifie de plus
, montrer que
est diagonalisable.
Deuxième partie. Soitun endomorphisme de
.
- Soit
un endomorphisme diagonalisable. Montrer que
vérifie
.
- Réciproquement, si
vérifie
, est-ce que u est diagonalisable ?