Colles de mathématiques
Convergence de la "demi somme harmonique" - Inégalité des accroissements finis
Sujet
- Démontrer que pour tout x≥0, on a 1x + 1 ≤ ln(x + 1) − ln(x) ≤ 1x
- On pose
vn =
1n + 1
+ … +
12n .
Démontrer queln(2n+1) − ln(2n) ≤ vn ≤ ln(2n) − ln(n)En déduire que (vn).
Corrigé de l'exercice de maths: Suites
Correction
- Applique le théorème des accroissements finis à la fonction
sur l'intervalle
: il existe
tel que
On conclut car
- On applique l'inégalité précédente pour
,
,
jusque
. On somme ces inégalités et on obtient, en ne gardant que l'inégalité de gauche:
On applique ensuite l'inégalité précédente pour,
jusque
et on ne garde cette fois que l'inégalité de droite et on obtient
Ceci se réécrit encore en
Par le théorème des gendarmes, on en déduit queconverge vers
.