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Colles de mathématiques

Couple de variables uniformes


Sujet


Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires suivant une loi uniforme sur {0, …, n}2.
  1. Déterminer la loi de X, la loi de Y, la loi de X + Y.
  2. X et Y sont-elles indépendantes?

Corrigé de l'exercice de maths: Couples de variables aléatoires

Correction


  1. Le couple (X, Y) suit la loi uniforme sur {0, …, n}2 signifie que X et Y sont à valeurs dans {0, …, n} et que, pour tout (i, j)∈{0, …, n}2
    P((X, Y) = (i, j)) = 1(n+1)2

    On a alors, pour tout k∈{0, …, n},
    P(X = k) = n∑i=0P((X, Y) = (k, i)) = n∑i=01(n+1)2 = 1(n+1)
    X suit donc une loi uniforme sur {0, …, n}.

    Par symétrie, il en est de même de X.

    La variable aléatoire X + Y est à valeurs dans {0, …, 2n} et pour tout k dans cet intervalle d'entiers, on a
    P(X + Y = k) = n∑i=0P(X = i, Y = k−i)
    Si k≤n, ceci devient égal à
    P(X + Y = k) = k∑i=0 1(n+1)2 = k + 1(n+1)2
    Si k>n, la somme va jusqu'à n (car i≤n) et commence à k − n (car k − i≤n) et donc
    P(X + Y = k) = n∑i=k−n 1(n+1)2 = 2n − k + 1(n+1)2
  2. On a, pour tout couple (i, j)∈{0, …, n}2,
    P(X = i, Y = j) = P(X = i) P(Y = j) = 1(n+1)2
    ce qui montre que les variables X et Y sont indépendantes.