Colles de mathématiques

Dans un bureau de poste, il y a deux guichets. Chacune des personnes arrivant à la poste choisit le premier guichet avec une probabilité p, ou le deuxième guichet avec une probabilité q = 1−p. Les personnes effectuent leur choix de façon indépendante. En une heure, le nombre X de personnes arrivés à la poste suit une loi de Poisson 𝒫(m). On désigne par Y le nombre de personnes ayant choisi le premier guichet.

1. Exprimer la probabilité conditionnelle de Y = k sachant que X = n.
2. En déduire la loi conjointe du couple (X, Y).
3. Déterminer la loi de Y. On trouvera que Y suit une loi de Poisson de paramètre mp.