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Colles de mathématiques

Tortues des Galapagos



Exercice de maths: Couples de variables aléatoires

Sujet


Soit $N$ un entier naturel non nul.
Une tortue des Galapagos pond $N$ oeufs qu'elle enfouit dans le sable d'une île. Les oeufs ont (indépendamment les uns des autres) une probabilité $p\in]0, 1[$ d'éclore et les bébés tortues qui naissent ont (de manière indépendante) une probabilité q d'être des bébés tortues mâles. On pose $M$ la variable aléatoire désignant le nombre de bébés tortues mâles qui naissent et $F$ le nombre de tortues femelles qui naissent.
  1. Donner les lois des variables $M$ , $F$ , $M+F$.
    1. Les variables $M$ et $F$ sont-elles indépendantes ?
    2. Calculer la covariance de $M$ et $F$.
  3. On pose maintenant $N$ suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$. Les autres hypothèses restent inchangées.
    1. Calculer la loi de $M$ .
    2. Calculer la covariance de $M$ et $F$ .
    3. Les variables aléatoires $M$ et $F$ sont-elles indépendantes ?

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