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Colles de mathématiques

Décomposition en éléments simples


Sujet


Décomposer en éléments simples $F(X)=\dfrac{X^2+2X+5}{X^2-3X+2}$

Corrigé de l'exercice de maths: Polynômes

Correction


On a $X^2-3X+2=(X-1)(X-2)$ et donc, comme $\deg\left( X^2+2X+5\rp=\deg\left( X^2-3X+2\rp$ il y a une partie entière de degré nul, donc une constante, et alors
\[F(X)=\dfrac{X^2+2X+5}{X^2-3X+2} =\dfrac{X^2+2X+5}{(X-1)(X-3)} =a+\dfrac{b}{X-1}+\dfrac{c}{X-2}\]


En faisant tendre $X$ vers $+\infty$, on trouve $a=1$.
En multipliant par $X-1$ puis en faisant $X=1$, on obtient $b=-8$, puis, de même, En multipliant par $X-2$ puis en faisant $X=2$, on obtient $c=13$.
En résumé, on a
\[F(X)=\dfrac{X^2+2X+5}{X^2-3X+2} =1-\dfrac{8}{X-1}+\dfrac{13}{X-2}\]