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Colles de mathématiques

Décomposition en produits de polynômes irréductibles (bis)


Sujet


Décomposer en produit de polynômes irréductibles de $\R[X]$, $X^8-1$.

Corrigé de l'exercice de maths: Polynômes

Correction



\[\begin{array}{ll} X^8-1 &=\left( X^4-1\rp\left( X^4+1\rp\\[.5em] &=\left( X^2-1\rp\left( X^2+1\rp\left( X^4+1\rp\\[.5em] &=\left( X-1\rp\left( X+1\rp\left( X^2+1\rp\left( X^4+1\rp \enar\]


$X^2+1$ est irréductible dans $\R[X]$ et $X^4+1$ admet $e^{\pm i\frac\pi4}$ et $e^{\pm \frac{3\pi}{4}}$ comme racines dans $\C$, d'où la factorisation, dans $\C$,
\[X^4+1=\left( X-e^{i\frac{3\pi}{4}}\right) \left( X-e^{-i\frac{3\pi}{4}}\right) \left( X-e^{i\frac\pi4}\rp\left( X-e^{-i\frac\pi4}\rp\]

d'où la factorisation dans $\R$,
\[X^4+1=\left( X^2-\sqrt2X+1\rp\left( X^2+\sqrt2X+1\rp\]