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Colles de mathématiques

Décomposition en produits de polynômes irréductibles (ter)


Sujet


Décomposer en produit de polynômes irréductibles de $\R[X]$, $\left( X^2-X+1\rp^2+1$.

Corrigé de l'exercice de maths: Polynômes

Correction


Comme $X^2+1=(X-i)(X+i)$, on a $\left( X^2-X+1\rp^2+1=\left( X^2-X+1-i\rp\left( X^2-X+1+i\rp$.
$\pm i$ sont les racines des deux trinômes du second degré et donc, $X^2-X+1-i=(X+i)(X-(1+i))$ et $X^2-X+1+i=(X-i)(X-(1-i)$, d'où $\left( X^2-X+1\rp^2+1=(X+i)(X-(1+i))(X-i)(X-(1-i))$, puis, en regroupant les racines complexes conjuguées, $\left( X^2-X+1\rp^2+1=\left( X^2+1\rp\left( X^2-2X+2\rp$