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Colles de mathématiques

Décomposition en série de Fourier


Sujet


Étudier la série de Fourier de la fonction f, 2π-périodique, définie par sa représentation graphique suivante:
Représentation graphique de f, affine par morceaux

Corrigé de l'exercice de maths: Série de Fourier

Correction


f est 2π-périodique et paire, donc bn, et
\[\begin{array}{ll} a_0&\dsp=\dfrac{2}{2\pi}\int_0^\pi f(x)dx =\dfrac1\pi\int_0^\pi \lp-\dfrac1\pi x+1\right) dx\\[1em] &=\dfrac1\pi\Bigl[-\dfrac{1}{2\pi}x^2+x\Bigr]_0^\pi =\dfrac1\pi\left( -\dfrac12\pi+pi\right) =\dfrac12\enar\]

et pour tout entier n>0,
\[a_n=\dfrac{4}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos(n\omega x)dx\]

avec $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=1$, et sur $[0;2\pi]$, $f(x)=-\dfrac1\pi x+1$, et donc
\[\begin{array}{ll} a_n&\dsp=\dfrac{4}{\pi}\int_0^\pi \lp-\dfrac1\pi x+1\right) \cos(nx)dx =\dfrac{4}{n\pi}\Bigl[\lp-\dfrac1\pi x+1\rp\sin(nx)\Bigr]_0^\pi +\dfrac{4}{n\pi^2}\int_0^\pi \sin(nx)dx \\[1em] &=0-\dfrac{4}{n^2\pi^3}\Bigl[\cos(nx)\Bigr]_0^\pi =-\dfrac{4}{n^2\pi^3}\Bigl(\cos(n\pi)-1\Bigr)\\[1em] &=\dfrac{4}{n^2\pi^3}\Bigl(1-(-1)^n\Bigr) \end{array} \]

ainsi, $a_{2n}=0$ et $a_{2n+1}=\dfrac{8}{(2n+1)^2\pi^3}$.
Comme $f$ est continue sur $\R$, on peut donc écrire que, pour tout réel $x$,
\[f(x)=\dfrac12 +\dfrac{8}{\pi^3}\sum_{n\geqslant0}\dfrac{\cos\left( (2n+1)x\right)}{(2n+1)^2}\]