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Colles de mathématiques

Déterminer les polynômes tels que …


Sujet


Déterminer les polyômes $P$ de $\R[X]$ tels que $P\left( X^2\rp=\left( X^2+1\rp P(X)$.

Corrigé de l'exercice de maths: Polynômes

Correction


Soit $P$ un polynôme solution, alors $2\deg(P)=\deg(P)+2$, et donc, $\deg(P)=2$.
Ainsi, $P(X)=aX^2+bX+c$ et alors
\[\begin{array}{rll} P(X^2)&=&aX^4+bX^2+c\\ (X^2+1)P(X)&=&aX^4+bX^3+(a+c)X^2+bX+c. \enar\]

On en déduit que $b=0$, puis que $a+c=0$. Les solutions sont donc les polynômes $P(X)=a(X^2-1)$, $a\in\mathbb R$.