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Colles de mathématiques

Déterminer les polynômes tels que … (ter) et le décomposer en produits de polynômes irréductibles


Sujet


Déterminer un polynôme $P$ de degré 4 qui admet 2 comme racine double et tel que $P(1)=5$, $P'(0)=0$ et $P''(0)=-4$.
Décomposer alors $P$ en produit de polynômes irréductibles de $\R[X]$ puis de $\C[X]$.

Corrigé de l'exercice de maths: Polynômes - Nombres complexes

Correction


2 est une racine double de $P$, donc $P(X)=(X-2)^2(aX^2+bX+c)$.
De plus,
$\bullet P(1)=a+b+c=5$
$\begin{array}{ll}\bullet &P(X)=(X^2-4X+4)(aX^2+bX+c)\\[.4em] &=aX^4+(-4a+b)X^3+(4a-4b+c)X^2+(4b-4c)X+4c\enar$
et donc $P'(0)=4b-4c=0\iff b-c=0$.
$\bullet P''(0)=2(4a-4b+c)=-4\iff 4a-4b+c=-2$
En résumé, on obtient le système linéaire
\[\la\begin{array}{rcrcrcrcr} a&+&b&+&c&=&5 \\ &&b&-&c&=&0 \\ 4a&-&4b&+&c&=&-2 \enar\right.\]

qui est équivalent à $a=1$ et $b=c=2$.
On trouve donc l'unique polynôme $P(X)=(X-2)^2(X^2+2X+2)$
On a, en calculant son discriminant ou en à l'aide de sa forme canonique: $X^2+2X+2=(X+1)^2+1$ ce qui montre que $X^2+2X+2$ est irréductible dans $\R[X]$, tandis que dans $\C[X]$, $X^2+2X+2=(X+1-i)(X+1+i)$ et donc
\[\begin{array}{ll}P(X)&=(X-2)^2(X^2+2X+2)\\[.4em] &=(X-2)^2(X+1-i)(X+1+i)\enar\]