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Colles de mathématiques

Diagonalisabilité et base de polynômes propres

Oral ESCP - filière B/L, 2021


Sujet


Oral ESCP, BL - 2021
Soit m un entier naturel non nul. On considère l'espace vectoriel Rm[x] des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à m et l'application f associant à tout polynôme P de Rm[x], le polynôme Q = f (P) défini par
Q(x) = m(x−1)P(x) − x(x−1)P'(x)
pour tout réel x, et où P' désigne le polynôme dérivé de P.
  1. Montrer que f est un endomorphisme de Rm[x].
  2. Montrer que si P est un vecteur propre de f, alors 0 ou 1 sont racines de P.
  3. Pour tout entier naturel k≤m, on note Wk la fonction polynomiale de Rm[x] définie par:
    Wk(x) = xk(x − 1)m−k
    Montrer que pour tout k, Wk est un vecteur propre de f.
  4. Quelles sont les valeurs propres de l'endomorphisme f ? L'endomorphisme f est-il diagonalisable ?
  5. Montrer que (W0, W1, …, Wm) est une base de Rm[x] et déterminer les composantes du polynôme constant U(x) = 1 dans cette base.

Corrigé de l'exercice de maths: Diagonalisation - Annales ESCP - B/L

Correction


Oral ESCP, BL - 2021
  1. La linéarité de f provient directement de celle de la dérivé: soit deux polynômes P et Q, un réel λ et R = f (λP+Q), alors
    \[\begin{array}{lcl}R(x)&=&m(x-1)(\lambda P+Q)(x)-x(x-1)(\lambda P+Q)'(x)\\ &=&m(x-1)(\lambda P+Q)(x)-x(x-1)(\lambda P'+Q')(x)\\ &=&\lambda m(x-1)P(x)-x(x-1)P'(x)\\ &&+m(x-1)Q(x)-x(x-1)Q'(x)\\ &=&\lambda f(P)(x)+f(Q)(x)\enar\]

    ce qui montre que f est linéaire.
    Il reste à montrer que, pour P∈Rm[x] on a aussi f (P)∈Rm[x], c'est-à-dire que f (P) est un polynôme de degré inférieur ou égal à m.
    On peut le faire avec un polynôme quelconque de Rm[x] ou, maintenant qu'on a montré la linéarité, se contenter de le faire pour une base de Rm[x], par exemple la base canonique formée par les polynômes ei (x) = xi, pour 0≤i≤m.
    On a
    f (ei)(x) = m(x−1)xi − ix(x−1)xi−1
    qui est un polynôme de degré i+1 si i<m, et donc f (ei)∈Rm[x].
    Par contre, si i = m, on trouve ici que f (em) = 0 et donc aussi que f (em)∈Rm[x].
    Par linéarité, on a donc que f (P)∈Rm[x] pour tout P∈Rm[x] et donc f est un endomorphisme de Rm[x].
  2. Soit P un vecteur propre de f, c'est-à-dire que f (P) = λP, soit
    m(x−1)P(x) − x(x−1)P'(x) = λP(x)
    Maintenant, pour x = 0 on obtient
    −mP(0) = λP(0)
    et pour x = 1 on a
    0 = λP(1)
    Si λ≠0 alors on a donc P(1) = 0, sinon, si λ = 0, on a P(0) = 0.
    Finalement, quelque soit la valeur propre λ, 0 ou 1 est une racine de P.
  3. Il suffit de calculer f (Wk). On a
    Wk'(x) = kxk−1(x−1)m−k + (m−k)xk(x−1)m−k−1
    et on trouve, tout calculs faits,
    f (Wk) = (k−m)Wk
    et qui montre que Wk est vecteur propre associé à la valeur propre k−m.
  4. Pour 0≤k≤m, k−m est valeur propre de f, qui admet donc m+1 valeurs propres distincts dans l'espace Rm[x] qui est de dimension m+1.
    On en déduit que f est donc diagonalisable.
  5. Pour tout 0≤k≤m, Wk est un vecteur propre de f associé à la valeur propre k−m. La famille (Wk) forme donc une base vecteurs propres de f.

    Pour décomposer U, on cherche donc les coefficients ak tels que
    U(x) = m∑k=0 akWk(x)
    ou encore, en remplaçant par les expressions correspondantes
    1 = m∑k=0 akxk(x−1)m−k
    On reconnaît la formule du binôme de Newton; en choisissant pour ak = (−1)m−k mk les coefficients binômomiaux, on a justement la formule du binôme de Newton:
    m∑k=0 mkxk(−1)m−k(x−1)m−k = (x−(x−1))m = 1