Colles de mathématiques
Diagonalisabilité et base de polynômes propres
Oral ESCP - filière B/L, 2021
Exercice de maths: Diagonalisation - Annales ESCP - B/L
Sujet
Oral ESCP, BL - 2021
Soit m un entier naturel non nul. On considère l'espace vectoriel Rm[x] des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à m et l'application f associant à tout polynôme P de Rm[x], le polynôme Q = f (P) défini par
Soit m un entier naturel non nul. On considère l'espace vectoriel Rm[x] des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à m et l'application f associant à tout polynôme P de Rm[x], le polynôme Q = f (P) défini par
Q(x) =
m(x−1)P(x)
− x(x−1)P'(x)
pour tout réel x, et où P' désigne le polynôme dérivé de P.
- Montrer que f est un endomorphisme de Rm[x].
- Montrer que si P est un vecteur propre de f, alors 0 ou 1 sont racines de P.
- Pour tout entier naturel k≤m, on note Wk la fonction polynomiale de Rm[x] définie par:
Wk(x) = xk(x − 1)m−kMontrer que pour tout k, Wk est un vecteur propre de f.
- Quelles sont les valeurs propres de l'endomorphisme f ? L'endomorphisme f est-il diagonalisable ?
- Montrer que (W0, W1, …, Wm) est une base de Rm[x] et déterminer les composantes du polynôme constant U(x) = 1 dans cette base.