Colles de mathématiques
DL en 1, tangente et position relative
Sujet
Donner le développement limité en 1 à l'ordre 2 de la fonction 
définie par 
.
Étudier la position de la courbe
de 
par rapport à sa tangente en 1.
définie par .
Étudier la position de la courbe
de
par rapport à sa tangente en 1.
Corrigé de l'exercice de maths: Développements limités
Correction
Pour obtenir le développement limité en 1, à l'ordre 2,
on se ramène à 0 en posant 
, et on a alors
![\[\begin{array}{ll}f(x)&=x+2\sqrt{x}-\sqrt{3+x}\\
&=u+1+2\sqrt{u+1}-\sqrt{4+u}\\[1em]
&=u+1+2\sqrt{1+u}-\sqrt{4\lp1+\dfrac{u}4\right)}\\[1em]
&=u+1+2(1+u)^{1/2}-2\lp1+\dfrac{u}4\rp^{1/2}\\[1em]
&=u+1+2\lp1+\dfrac12u-\dfrac18u^2+o\lp u^2\rp\rp
-2\lp1+\dfrac18u-\dfrac18\lp\dfrac{u}4\rp^2+o\lp u^2\rp\rp\\[1em]
&=1+\dfrac74u-\dfrac{15}{64}u^2+o\left( u^2\right)
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/DL/DL1-tangente-position-relative_c/2.png)
et on trouve donc, en revenant à
, le développement limité en 1:
![\[f(x)=1+\dfrac74(x-1)-\dfrac{15}{64}(x-1)^2+o\left( (x-1)^2\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/DL/DL1-tangente-position-relative_c/4.png)
On en déduit que la tangente à la courbe de
en 1 a pour équation
![\[y=1+\dfrac74(x-1)=\dfrac74x-\dfrac34\]](/Generateur-Devoirs/Colles/DL/DL1-tangente-position-relative_c/6.png)
et, comme
![\[f(x)-\Bigl(1+\dfrac74(x-1)\Bigr)=-\dfrac{15}{64}(x-1)^2+o\lp(x-1)\rp^2<0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/DL/DL1-tangente-position-relative_c/7.png)
au voisinage de 1, la courbe de
est au dessous de cette tangente.
, et on a alors
et on trouve donc, en revenant à
, le développement limité en 1:
On en déduit que la tangente à la courbe de
en 1 a pour équation
et, comme
au voisinage de 1, la courbe de
est au dessous de cette tangente.