Colles de mathématiques
Égalité des accroissements finis - Énoncé et démonstration
Sujet
Énoncer et démontré l'égalité des accroissements finis.
Corrigé de l'exercice de maths: Théorèmes de Rolle & accroissements finis
Correction
Théorème: Soit f une fonction continue sur [a; b] et dérivable sur ]a; b[, alors il existe c∈]a; b[ tel que f (b) − f (a) = f '(c) (b − a)
Démonstration:
Graphiquement, ce théorème énonce qu'il existe c∈]a; b[ tel que f '(c) = f (b) − f (a) b − a c'est-à-dire que la tangente au point d'abscisse c est parallèle à la droite passant par les points de la courbe aux extrémités de l'intervalle:
Le coefficient directeur de la sécante passant par (a, f (a)) et (b, f (b)) est m = f (b) − f (a) b − a
On définit alors la fonction
Comme φ est, de même que f, continue sur [a; b] et dérivable sur ]a; b[, on en déduit, d'après le théorème de Rolle, qu'il existe c∈]a; b[ tel que φ'(c) = 0 ⇔ f '(c) − m = 0 soit exactement
Démonstration:
Graphiquement, ce théorème énonce qu'il existe c∈]a; b[ tel que f '(c) = f (b) − f (a) b − a c'est-à-dire que la tangente au point d'abscisse c est parallèle à la droite passant par les points de la courbe aux extrémités de l'intervalle:
Le coefficient directeur de la sécante passant par (a, f (a)) et (b, f (b)) est m = f (b) − f (a) b − a
On définit alors la fonction
φ(x) = f (x) − f (a) − m(x − a)
pour laquelle on a
φ(a) = φ(b) = 0.
Comme φ est, de même que f, continue sur [a; b] et dérivable sur ]a; b[, on en déduit, d'après le théorème de Rolle, qu'il existe c∈]a; b[ tel que φ'(c) = 0 ⇔ f '(c) − m = 0 soit exactement
f '(c) = m =
f (b) − f (a)
b − a