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Colles de mathématiques

Égalité des noyaux et images de 3 endomorphismes définis par compositions circulaires


Sujet


Soit f, g et h trois endomorphismes d'un même espace vectoriel E tels que f ο g = h , g ο h = f , et h ο f = g .
Montrer que f, g et h ont même noyau et même image.

Corrigé de l'exercice de maths: Applications linéaires

Correction


$\text{Ker}(h)=\text{Ker}(f\circ g)$ et donc, si $x\in\text{Ker}(g)$ c'est-à-dire $g(x)=0$ donc $h(x)=f(g(x))=0$ donc $x\in\text{Ker}(h)$ et ainsi $\text{Ker}(g)\subset\text{Ker}(h)$.

De même, en permuttant circulairement, à partir de $g\circ h=f$ on obtient $\text{Ker}(h)\subset\text{Ker}(f)$ et de $h\circ f=g$ on tire $\text{Ker}(f)\subset\text{Ker}(g)$.
Finalement, on a obtenu $\text{Ker}(g)\subset\text{Ker}(h)\subset\text{Ker}(f)\subset\text{Ker}(g)$ ce qui montre que tous ces noyaux sont égaux.


Concernant les images, soit par exemple $y\in\text{Im}(h)$ c'est-à-dire qu'il existe $x$ tel que $y=h(x)=f(g(x))=f(z)$ avec $z=g(x)$ et donc $y\in\text{Im}(f)$, d'où $\text{Im}(h)\subset\text{Im}(f)$
En permuttant à nouveau circulairement, $f=g\circ h \Longrightarrow\text{Im}(f)\subset\text{Im}(g)$ et $g=h\circ f \Longrightarrow\text{Im}(g)\subset\text{Im}(h)$.
Finalement, on a obtenu
\[\text{Im}(h)\subset\text{Im}(f)\subset\text{Im}(g)\subset\text{Im}(h)\]

ce qui montre que toutes ces images sont égales.