Colles de mathématiques
Égalité d'un polynôme et de l'exponentielle: finitude des solutions
Sujet
Soit P un polynôme.
Montrer que l'équation P(x) = ex n'admet qu'un nombre fini de solutions.
Montrer que l'équation P(x) = ex n'admet qu'un nombre fini de solutions.
Corrigé de l'exercice de maths: Théorèmes de Rolle & accroissements finis
Correction
Soit
.
Si
admet
racines,
alors
en admet
, d'après le théorème de Rolle.
En réappliquant ce théorème à
, on obtient que
admet
racines, et en réitérant,
admet
racines, et enfin
admet 1 racine.
Ainsi, si
est un polynôme de degré
, alors
et donc
devrait admettre 1 racine, ce qui est absurde.
Ainsi,
ne peut pas admettre plus de
racines où
.
![$g(x)=e^x-P(x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exRolle2_c/1.png)
![$g$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exRolle2_c/2.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exRolle2_c/3.png)
![$g'$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exRolle2_c/4.png)
![$n-1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exRolle2_c/5.png)
![$g'$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exRolle2_c/6.png)
![$g''$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exRolle2_c/7.png)
![$n-2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exRolle2_c/8.png)
![$g^{(k)}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exRolle2_c/9.png)
![$n-k$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exRolle2_c/10.png)
![$g^{(n-1)}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exRolle2_c/11.png)
Ainsi, si
![$P$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exRolle2_c/12.png)
![$n-2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exRolle2_c/13.png)
![$P^{(n-1)}=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exRolle2_c/14.png)
![$g^{(n-1)}=e^x$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exRolle2_c/15.png)
Ainsi,
![$P(x)=e^x$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exRolle2_c/16.png)
![$n-1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exRolle2_c/17.png)
![$\deg(P)=n-2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exRolle2_c/18.png)