Colles de mathématiques
Encadrements sommes et intégrales
Sujet
On pose, pour ,
et .
- Démontrer que, pour tout entier naturel non nul, on a .
- En déduire que pour tout entier , on a et .
- Démontrer que pour tout entier naturel non nul, .
- En déduire que la suite converge vers une limite
(que l'on ne cherchera pas à calculer).
Que dire de ?
Corrigé de l'exercice de maths: Intégrales sur un segment
Correction
- La fonction est décroissante sur
l'intervalle et donc on a, pour tout ,
En intégrant ces inégalités, on obtient
- En sommant les inégalités précédentes pour
allant de à , le membre de droite de l'inégalité est
Le membre au milieu est alors
Enfin, le membre de gauche est
On a ainsi obtenu la première inégalité demandée.
De plus donc .
L'autre inégalité donne . - On a
- D'après la question a) et la précédente, on a donc obtenu
que et donc que la suite
est décroissante.
Comme elle est de plus minorée par 0, on en déduit qu'elle est convergente.
Par ailleurs, de on déduit que tend vers .