Colles de mathématiques
Endomorphisme de carré nul
Oral ENSAE, Saclay, filière B/L, 2017
Sujet
Soit f un endomorphisme non nul d'un R-espace vectoriel E de dimension 3, tel que f o f = 0.
- Montrer que Im(f)⊂ker(f). Quel est le rang de f ?
- Montrer qu'il existe un vecteur e1 de E \ ker(f) et un vecteur e2 de ker(f) tels que (e1, f(e1), e2) soit une base de E. Écrire la matrice de f dans cette base.
- Donner un exemple d'un tel endomorphisme dans R3.
Corrigé de l'exercice de maths: Applications linéaires - Annales ENSAE - Saclay - B/L
Correction
Oral ENSAE - 2017
- Soit
, alors il existe
tel que
.
On a alors, ce qui signifie que
, et donc l'inclusion
.
D'après le théorème du rang, on a
avec, d'après le résultat précédent,et on a donc
d'où
De plus, commen'est pas l'application nulle, on a
.
Finalement, on a trouvéet alors
.
- On commence par construire une base du noyau, de dimension 2.
Soit
. On a alors
, et aussi
et donc
.
On complète ce vecteur par un vecteurtel que
soit une base de
.
Il s'agit alors de montrer que la familleest une base
.
Il suffit de montrer que cette famille de 3 vecteurs dans un espace de dimension 3 est libre.
Soit,
et
trois réels tels que
, alors, en appliquant
, on obtient aussi, puisque
et
sont des éléments de
,
d'oùpuisque aussi
.
On a donc maintenant la relation
orest une base de
, en particulier la famille est libre, et la relation précédente implique donc que
.
Finalement, on a bien montré queforme une base de
.
Dans cette baseon a directement
et
, d'où la matrice de
dans cette base
- L'endomorphisme
canoniquement associé à la matrice précédente est un exemple de tel endomorphisme: non nul et tel que
.