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Colles de mathématiques

Endomorphismes définis par leurs produits

Oral ENSAE, Saclay, filière B/L, 2014/2015


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Sujet


Soit f et g deux endomorphismes de R2, A et B leurs matrices respectives dans la base canonique.
On suppose que AB = 0 0 0 0 et BA = 0 1 0 0
  1. f et g peuvent elles être nulles ? Peuvent-elles être bijectives ?
  2. Déterminer Im(g) et ker(f).
  3. Donner la forme de A et B.

Corrigé de l'exercice de maths: Applications linéaires - Matrices - Annales ENSAE - Saclay - B/L

Correction


Oral ENSAE - 2014/2015

  1. Ni f, ni g, ne peut être nulles, car dans ce cas le produit de leurs matrices seraient aussi nul, ce qui n'est pas le cas.

    De même, ni f, ni g, ne peut être bijective.
    En effet, supposons par exemple f bijective, donc A inversible, alors on aurait
    \[AB=0\iff A^{-1}AB=A^{-1}0=0 \iff B=0\]

    ce qui donnerait alors aussi $BA=0$, alors que ce n'est pas le cas.
  2. Comme $f\circ g=0$, on a $\text{Im}(g)\subset\ker(f)$.
    De plus, comme $f$ n'est ni nulle ni bijective, on a forcément $\text{rg}(f)=\dim(\text{Im}(f))=1$ et, par le théorème du rang, $\dim(\ker(f))=\dim\lp\R^2\rp-\text{rg}(f)=2-1=1$.
    D'après inclusion $\text{Im}(g)\subset\ker(f)$, on a donc aussi nécessairement $\text{rg}(g)=\dim(\ker(g))=1$.

    Soit $X=\lp\begin{array}{l}x\\y\enar\rp\in\ker(f)$, alors
    \[AX=0\implies BAX=\lp\begin{array}{c}y\\0\enar\rp=\lp\begin{array}{c}0\\0\enar\rp\]

    d'où $y=0$ et $\ker(f)=\text{vect}\left( e_1\rp=\text{Im}(g)$.
  3. Comme $\ker(f)=\text{vect}(e_1)$, alors, dans la base canonique
    \[A=\lp\begin{array}{cc}0&a\\0&b\enar\rp\]

    et de même, comme $\text{Im}(g)=\text{Vect}(e_1)$, on a aussi
    \[B=\lp\begin{array}{cc}c&d\\0&0\enar\rp\]

    ce qui donne
    \[AB=\lp\begin{array}{cc}0&0\\0&0\enar\rp\]

    et
    \[BA=\lp\begin{array}{cc}0&ac+bd\\0&0\enar\rp\]

    L'ensemble des matrices $A$ et $B$ recherchées sont donc celles qui s'écrivent sous la forme précédente, et dont les coefficients vérifient la relation $ac+bd=1$.