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Colles de mathématiques

Étude d'une fonction


Sujet


Donner le sens de variation de la fonction f : x ↦ (x + 2)e−x.
Tracer l'allure de sa courbe représentative.

Corrigé de l'exercice de math

Correction


$f$ est définie sur $\R$, et $f=uv$, donc $f'=u'v+uv'$, avec $v(x)=e^{-x}$, et donc $v'(x)=-e^{-x}$.
On obtient donc $f'(x)=1e^{-x}+(x+2)\left( -e^{-x}\right) =-(x+1)e^{-x}$
On trouve donc le sens de variation de $f$:
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-1$ && $+\infty$ \\\hline $x+1$ && $-$ &\zb&$+$ &\\\hline $e^{-x}$ && $+$ &$|$&$+$& \\\hline $f'(x)$ && $+$ &\zb&$-$ &\\\hline &&&$e$&&\\ $f$&&{\large$\nearrow$}&&{\large$\searrow$}&\\ &$-\infty$&&&&0\\\hline \end{tabular}\]


\[\begin{pspicture}(-3,-3)(5.4,3.4) \psline[arrowsize=7pt]{->}(-3,0)(5.4,0) \psline[arrowsize=7pt]{->}(0,-3)(0,3.3) \psline(-2,.1)(-2,-.1)\rput(-1.8,.2){$-2$} \psline(1,.1)(1,-.1)\rput(1,-.3){$1$} \psline(-.1,1)(.1,1)\rput(-.2,1.25){$1$} \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-2.3}{5}{x 2 add 2.718 -1 x mul exp mul} \end{pspicture}\]