Colles de mathématiques
Étude de fonction, bijection et réciproque
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Sujet
- Rappeler la définition d'une fonction bijective.
- Démontrer que la fonction f : RR+* définie par f (x) = ex + 2e−x est bijective.
- Tracer l'allure de la courbe Cf de f, après avoir préciser les limites de f en l'infini, et l'équation de la tangente en 0.
- Donner l'expression de sa fonction réciproque f−1 et tracer sur le graphique précédent l'allure de sa courbe.
Corrigé de l'exercice de math
Correction
- voir cours...
- est dérivable sur avec
et, comme pour tout réel , on a aussi , et donc est strictement croissante sur sur .
Comme de plus , on a et on en déduit que est une bijection de sur .
- On a et ,
d'où .
On en déduit en particulier que l'axe des abscisses (droite d'équation ) est une asymptote en à .
En , on a et avec d'où, par quotient des limites, .
La tangente en 0 a pour équation .
Voir à la fin pour la courbe. - Pour déterminer sa fonction réciproque, on pose , pour et on cherche à exprimer .
Soit , alors on a . C'est une équation du second degré de déterminant car , et qui admet donc deux solutions réelles et .
Comme on a posé et que on a une seule solution: .
Ainsi, la fonction réciproque de est définie par
Pour tracer sa courbe, on se rappelle que les courbe de et de sont symétriques par rapport à la 1ère bissectrice (droite )