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Colles de mathématiques

File d'attente à un guichet


Sujet


Dans un bureau de poste, il y a deux guichets. Chacune des personnes arrivant à la poste choisit le premier guichet avec une probabilité p, ou le deuxième guichet avec une probabilité q = 1−p. Les personnes effectuent leur choix de façon indépendante. En une heure, le nombre X de personnes arrivés à la poste suit une loi de Poisson 𝒫(m). On désigne par Y le nombre de personnes ayant choisi le premier guichet.
  1. Exprimer la probabilité conditionnelle de Y = k sachant que X = n.
  2. En déduire la loi conjointe du couple (X, Y).
  3. Déterminer la loi de Y. On trouvera que Y suit une loi de Poisson de paramètre mp.

Corrigé de l'exercice de maths: Couples de variables aléatoires

Correction


  1. Pour chaque personne, le choix du premier guichet se fait avec une probabilité p. Les choix sont indépendants les uns des autres, et l'événement conditionnel (Y = k | X = n) compte le nombre de "succès" lorsqu'on réalise n fois l'épreuve. On reconnait le schéma théorique d'une variable aléatoire de loi binomiale. On a donc :
    \[P(Y=k|X=n)=\left\{ \begin{array}{ll} \dsp\binom nk p^kq^{n-k}&\textrm{si $0\leq k\leq n$}\\[1.4em] 0&\text{si $k>n$.} \end{array}\right.\]


  2. On a:
    \[\begin{array}{lcl} P(Y=k,X=n)&=&P(X=n)P(Y=k|X=n)\\[.8em] &=&\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle e^{-m}\frac{m^n}{n!}\binom nkp^kq^{n-k}&\textrm{si $k\leq n$}\\[1.4em] 0&\text{sinon.}\end{array}\right. \enar\]


  3. On calcule, en prenant en compte du fait que les premiers termes sont nuls:
    \[\begin{array}{lcl} P(Y=k)&=&\dsp\sum_{n=k}^{+\infty}P(Y=k,X=n)\\ &=&\displaystyle e^{-m}\left(\dfrac{p}{q}\right)^k\dfrac{1}{k!}\sum_{n=k}^{+\infty}\frac{(mq)^n}{(n-k)!}\\[1.4em] &=&\displaystyle e^{-m}\left(\dfrac{p}{q}\right)^k\dfrac{1}{k!}(mq)^k\sum_{n=k}^{+\infty}\frac{(mq)^{n-k}}{(n-k)!}\\[1.4em] &=&\displaystyle e^{-m}\left(\dfrac{p}{q}\right)^k\dfrac{1}{k!}(mq)^k\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(mq)^{n}}{(n)!}\\[1.4em] &=&\displaystyle e^{-m}\left(\dfrac{p}{q}\right)^k\dfrac{1}{k!}(mq)^ke^{mq}\\[1.4em] &=&e^{-mp}\dfrac{(mp)^k}{k!}. \enar\]