Colles de mathématiques
Fonction avec sinus et cosinus hyperbolique
Sujet
Étudier les variations de la fonction
f : x ↦ 2 cosh2(x) − sinh(2x) .
Corrigé de l'exercice de math
Correction
On a
, avec
donc
,
et
donc
.
Ainsi
En revenant à l'écriture exponentielle, cette expression s'écrit aussi,
![\[\begin{array}{ll}
f'(x)
&=4\tm\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\tm\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}
-2\tm\dfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{2}\\[1em]
&=\left( e^x-e^{-x}\rp\tm\left( e^x+e^{-x}\rp
-\left( e^{2x}+e^{-2x}\rp\\[1em]
&=\left( e^{2x}-e^{-2x}\right)
-\left( e^{2x}+e^{-2x}\rp\\[1em]
&=-2e^{-2x}
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/7.png)
Ainsi, pour tout réel
,
et donc
est strictement décroissante sur
.
Remarque: On remarque de plus que
avec
,
et donc
, pour une certaine constante
.
Enfin, comme
et
, on en déduit que
,
soit que
, pour tout réel
.
Remarque, suite:
![\[\begin{array}{ll}
f(x)
&=2\cosh^2x-\sinh2x\\
&=2\lp\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\rp^2-\dfrac{e^{2x}-e^{-2x}}{2}\\[1em]
&=\dfrac{e^{2x}+e^{-2x}+2e^{x}e^{-x}}{2}-\dfrac{e^{2x}-e^{-2x}}{2}\\[1em]
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/21.png)
Enfin, comme
, on trouve finalement,
qu'on aurait pu trouver dès le début que
pour tout réel
,
ce qui aurait faciliter (grandement) l'exercice…





Ainsi

En revenant à l'écriture exponentielle, cette expression s'écrit aussi,
![\[\begin{array}{ll}
f'(x)
&=4\tm\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\tm\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}
-2\tm\dfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{2}\\[1em]
&=\left( e^x-e^{-x}\rp\tm\left( e^x+e^{-x}\rp
-\left( e^{2x}+e^{-2x}\rp\\[1em]
&=\left( e^{2x}-e^{-2x}\right)
-\left( e^{2x}+e^{-2x}\rp\\[1em]
&=-2e^{-2x}
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/7.png)
Ainsi, pour tout réel




Remarque: On remarque de plus que




Enfin, comme





Remarque, suite:
![\[\begin{array}{ll}
f(x)
&=2\cosh^2x-\sinh2x\\
&=2\lp\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\rp^2-\dfrac{e^{2x}-e^{-2x}}{2}\\[1em]
&=\dfrac{e^{2x}+e^{-2x}+2e^{x}e^{-x}}{2}-\dfrac{e^{2x}-e^{-2x}}{2}\\[1em]
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/21.png)
Enfin, comme


