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Colles de mathématiques

Formule de Bayes


Sujet


  1. Démontrer la formule de Bayes: pour deux événements A et B de probabilités non nulles,
    \[P_B(A)=P_A(B)\dfrac{P(A)}{P(A)\times P_A(B)+P\lp\overline{A}\rp\times P_{\overline{A}}(B)}\]

  2. J'ai trois pièces dans ma poche, deux normales, et une avec "Pile" sur ses deux faces.
    Je prends une pièce au hasard dans ma poche, la lance et obtiens "Pile".
    Quelle est la probabilité que cette pièce présente aussi "Pile" sur son autre face ?

Corrigé de l'exercice de maths: Probabilités conditionnelles - indépendance

Correction


  1. On a tout d'abord la définition d'une probabilité conditionnelle:
    P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}

    et inversement
    P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}

    ainsi,
    P\(A\cap B)=P_A(B)\times P(A)=P_B(A)\times P(B)

    d'où
    P_B(A)=P_A(B)\dfrac{P(A)}{P(B)}


    De plus, comme
    B=(B\cap A)\cup(B\cap \overline{A})

    et comme $A$ et $\overline{A}$ sont disjoints, donc $\left( B\cap A\rp$ et $\left( B\cap \overline{A}\rp$ aussi
    \[\begin{array}{ll}P(B)&=P\left( B\cap A\right) + P\left( B\cap \overline{A}\right)\\[.7em] &=P(A)\times P_A(B)+P\lp\overline{A}\rp\times P_{\overline{A}}(B)\enar\]

    qui est la formule des probabilités totales.
    On obtient donc
    \[P_B(A)=P_A(B)\dfrac{P(A)}{P(A)\times P_A(B)+P\lp\overline{A}\rp\times P_{\overline{A}}(B)}\]

  2. On note les événements: $A$: "la pièce prise dans ma poche est la pièce avec Pile sur les deux faces" et $B$: "j'obtiens Pile", et on cherche donc la probabilité $P_B\left( A\rp$.
    On a alors, d'après l'énoncé, $P(A)=\dfrac13$, $P_A(B)=1$ et, pour les pièces normales (équilibrées) $P_{\overline{A}}(B)=\dfrac12$,

    La formule de Bayes de la question précédente s'écrit ici
    P_B(A)=P_A(B)\dfrac{P(A)}{P(A)\times P_A(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)}=1\tm\dfrac{\frac13}{\frac13\tm1+\frac23\tm\frac12}=\dfrac{1}{2}