Colles de mathématiques
Inégalité des accroissements finis - Convergence d'une suite
Sujet
On considère la suite
définie par
.
Pour tout entier
, on définit de plus la fonction
définie
par
.
En utilisant l'inégalité des accroissements finis appliquée à
sur
montrer la suite
converge, et déterminer sa limite.
![$\left( u_n\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF1/1.png)
![$u_n=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dots+\dfrac{1}{n!}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF1/2.png)
Pour tout entier
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF1/3.png)
![$f_n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF1/4.png)
![$f_n(x)=e^{-x}\lp1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dots+\dfrac{x^n}{n!}\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF1/5.png)
En utilisant l'inégalité des accroissements finis appliquée à
![$f_n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF1/6.png)
![$[0;1]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF1/7.png)
![$\left( u_n\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF1/8.png)
Corrigé de l'exercice de maths: Suites - Théorèmes de Rolle & accroissements finis
Correction
![$f_n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF1_c/1.png)
![$\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF1_c/2.png)
![$f_n'=-e^{-x}\dfrac{x^n}{n!}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF1_c/3.png)
![$x\in[0;1]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF1_c/4.png)
![$\left|f_n'(x)\right|\leqslant\dfrac{1}{n!}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF1_c/5.png)
Ainsi, d'après l'inégalité des accroissement finis sur
![$[0;1]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF1_c/6.png)
![\[
\left|f_n(1)-f_n(0)\right|\leqslant\dfrac{1}{n!}
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF1_c/7.png)
soit
![\[
\left|\frac{u_n}{e}-1\right|\leqslant\dfrac{1}{n!}
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF1_c/8.png)
ce qui montre que
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=e$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF1_c/9.png)